(初稿- 未細修- 請按檢示原始碼)



這是對之前問題的回應。簡要地敘述就是：如何嚴謹地用推導的方式來論證數學，並且去掉所有能夠自由心證的部份？ 例如極限的無窮小透過嚴謹定義來操作、實數透過戴德金切割，躲避了「實數是數線上的數、數線是實數組成的線」的麻煩。總地來說，這樣的探討不免地會回到語句的結構，19世紀數學發展的一個枝線任務正是如此，它也聯繫了語言哲學的一部份。

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一開始是數學之前的世界, 一個探討句子, 句法, 推論等的地方: 

字(字母), 詞(詞類與片語), 簡單句, 句子的量號與詞的 "量號", 複雜的詞類, 再複雜的簡單句, 更複雜的詞類, 又複雜的簡單句, 基本推論規則, 等價型推論規則, 量號的推論規則, 帶變數句子的推論規則, 一些例子, 複合規則, 公設系統架構方法, 需要擴充時的補救方式. 


數學的最底層習慣選用集合論, 此為本人唯一知曉沒有問題的方式. 不論使用ZFC或NBG大致上都依照以下的走向. 在此前者的集合與後者的類統稱集合以省去描述的分歧. 

集合的運算, 關係, 函數, 集合進階運算, 集合的勢(個數),
帶序集與網, 良序理論, 取代公理與超限理論, 選擇公理勢的建構與超限數理論.


數系理論可視為集合論一部份特化出來的分枝. 現世流行者根據良序理論而定義後繼元並建立自然數; 然而個人不喜此必須以良序理論當思想背景的做法. 遂堅持用盡可能簡單的方法產生自然數, 並且證明在取代公理的前提下個人所採用的無窮公理與通用的無窮公理等價. 

自然數建構, 皮亞諾公設(假設), 運算, 序, 性質. 
分數的建構, 有理數的建構, 運算, 序, 性質, 方程的解, 嵌入. 
實數, 負化, 複數, 四元數. 

角，面積，基本函數等的定義,
然後處理SSS, SAS等全等性，產生某個對稱群。
排列、組合的定義。
機率測度。
接上數學分析等現代的科目. 








-----底下為細節, 將移至他處------------


在數學最前端- 甚至可說在數學之前, 邏輯- 一個規範推論方式的 "章法", 是絕對必要的探討. 即使它沒有告訴我們什麼推斷是不合法的, 但它明確指出什麼樣的推斷是合法的. 如果 "人" 經歷或長(一兩小時至數天等)或短(十秒一分鐘或瞬間等)的一段時間無法確知此步至下一步得以推進的理由, 因此腦袋發佈訊息: 顯示為看不懂 (相信你我在數學路上都有類似經驗). 在Lecture Notes類型的書上最常有這類的事情(例如Mumford的 "小紅書", 具體的例子: 第二章第一節 Spec(R)_f 也是緊緻那部份), 在凡有跳步可能的段落上也時而有之 (Spivak微分幾何第一冊的前幾個定理- 後來我從他footnote的四本書才恍然大悟- 原來背後東西可多著). 此外, 改學生的作業更是搜集這種推論缺失的時機 (註: 我並不視它為壞事. 值得留意的是學生是尚未沾染墨水的白紙, 因此他們的作業算是最原始的素材, 對於有心理解一個人學習一個主題的心裡活動是很重要的資料.)

因此 "跳步", "省略細節", 與論證 "有問題", "顛三倒四" 往往只有一線之隔 (假定不知道閱讀的論出自資深前輩之手或是新人的練習, 即使前者也有出錯的機會). 在不同嚴謹標準之間是可以琢磨的. 甚至我們可以問一個問題: 什麼樣的證明才算嚴謹? 

這個 "章法", 只是給出一個 "完全嚴謹" 的可能性. 事實上它並沒有機會成為數學論述的通行準則, 因為太繁複而不近人情. 如果用程式語言來對應, 則近似於機械語言和高階語言吧!

我們根據文法造出句子. 而這樣的文法深植於心中, 因為有多年使用如此語言的習慣. 我們根據邏輯進行推論, 因為經驗允許這樣做. 曾經為了使文章更為流暢, 我們學習中文(英文)的文法與修辭. 類似地, 為了理解我們的推理何以完美無瑕, 甚至要補足或察覺細微的缺失(有界閉集合的BW定理, SB定理用到遞迴定理, 用到AC, Ash基礎抽象代數第六章證明代數閉包用了replacement, Mumford 2-3 finite type判別時疑似用了AC), 我們學到邏輯.

我相信在 "pre-數學" 的探討之中可以完全避掉數學. 我相信可以完全地使用採討文法的方式探討邏輯. 無可避免地我們必須假定我們可以不吹毛求疵地處理一些表達文法時會用到的 "句式", 哪怕得使用 "變數" 的概念. 例如:

當見到此二句為前提時:

     若 ----- 則 ______
     -----

可以合法地寫出如下推論:
     ______

但我會避開這樣的變數表達:

      若 P 則 Q
      P
     -------------
     // Q

為的是分開邏輯與數理邏輯那樣很難辯識出的 "分層". 我不會寫 P = 天下雨, Q = 地溼, 甚至也不會用三槓表示用句子替代符號 (三槓的意思也不是那麼明確且無法與邏輯推論法則互相搭配, 後者只要細膩且挑剔一點剖析邏輯的inference rule即可發現其問題了). 但允許的是 "用天下雨填入 -----", "用地溼填入 ______". 如此的分隔可以從你如何由 "(砝碼譬喻法)框框必須填入1" 進展到接受 "(從等量公理得到) x=1" 略知一二.  (或說, 當框框代入1時, 框框加上2會是3, 進展至, 令x=1, 則x+2=3 ---- 此二者似乎 "存在" 一個 "層級" 的差別. 而這個 "層級" 剎那間並不是那麼容易釐清)

註: 框框要放1, 是操作; x=1, 是推論; 外部與內部的差別, 場外指導與身歷其境的區隔. 

我們必須讓一切簡單化: 文法只允許代入, 或是把一段子句, 詞語等搬到另一句合適的地方. 不可以說這是被動式, "所以" 必須如何. 在沒有嚴密的推理系統之前, 做推理的事怎麼看都是危險且不牢靠的. 說白了，各位審視自身經驗吧：日常的推理只是想像力的延伸而已。

-----底上為細節, 將移至他處------------