A bridge of Changes


Note: Through this bridge, topics will be discussed in articles. In fact, this series of "debates" will lead to a huge change about out thought about mathematics.





** 爭辯: 圖形的可靠性
** 爭辯: 上下和的極限真表面積嗎?
                這件事在我內心是有過揪結的，因為當切割數量(n塊)越來越多時，我們始終無法忽視那很小部份的面積。我們這裡當然假設上下和的極限相等。我曾經也有想過是不是以一些較簡單的例子, 只需要考慮一邊的和的極限就夠了。我甚至想過，對於不同n時,各有一張示意圖, 其下和 L_n < 面積 A < U_n並不難理解，但是極限狀況是否也有一張圖, 而在該張圖為什麼就該是原本曲線下的面積？ 那時候我朝另一個方向去想，如何標示代表極情況的那一張圖，以及為什麼可以那樣說明。後來我把目標轉成，不同圖形總是含蓋著一些點，被含蓋的點就是面積值組成的點，而當n變大時，上和多算的點越來越少下和少算的點也越來越少，極致情況要掌握好哪些點是被算到的。於是問題變成：極限情形的點該算哪些，如果以點的角度來看, 單點不構成面積，那什麼是面積？難道又要回到積分/上下和的「夾擊」來處理嗎？循環論述。

後來發現不用那麼複雜，如果有數列的夾擠定理，它是很好說明的，而夾擠定理太直觀了。以當時的理解相當有說服力，也是我最喜歡的說法。

但是如果想要就極限理論找麻煩的話, 不得不尋覓他法處理夾擠問題(就是硬要躲著b5;-b4;定義), 然後模仿阿基米得使用三一律的精神。當然, 後來到的嚴謹主義下不會喜歡甚至不允許這樣的玩法。但我打從心底最喜歡這個辦法。


** 爭辯: 定義 " "P為真" 若且唯若 P" 真的有意義嗎?　　On the definition that P is true if P

** 爭辯: 無窮小的作用
** 爭辯: 實數的可靠性.
** 爭辯: 由a造-a的思想依據
                我看Landau的FoA學了些造數系的方式. 除了其定理4(兼定義1)的證明給我很長的沉思之外(其不給學生看的給老師的序 也指出我因而沉思很久的疑慮)，我對斷口(cut)→實數的處理也挺有意見, 而這個意見跟Laudau處理分數時的意見是差不多的, 後者在上課時或其他地方我得知是有數對的處置，與我想的一樣；然則，負化的處理----- from any cut x, we construct another element denoted by -x   ------ 在我腦海裡擺盪了許久. 心裡有個直覺一定要寫成-a:=(1,a)之類的, 要有一個真實身份。思想(方法論) 成熟一點才發現, 這是對的& 這是枝微末節。總歸是結束了。

(2017評) 這裡給我另一個衝擊。當時的困惑很可能是因為相信「嚴謹是一口氣質問個徹底」、「直接打破砂鍋璺到底」的反思作風，並且認為這個答案並不難為什麼作者沒列，是沒想到嗎，如果有想到又為什麼不註解。 然後才發現Landau的寫序的1929年年底的風氣跟當年閱讀時的2009年迥異。教訓是：沒有歷史概念，很多問題想了也是白想。

** 爭辯: 自然數的立基方式