作業 10

一、設 f(x) 為 Poissan 分配的 p.d.f., 請說明: 「將 f(x) 從 x =0 加到 x= 無窮」的和是1; 並據此推得:  e^w = 1 + w/1! + (w^2)/2! + (w^3)/3! + (w^4)/4! + ...........[這個表示式也可以看成是e的另外一個定義]

二、設三度空間中有X-Y-Z座標系, 現將其X-Y平面以Y軸為「旋轉軸」轉一個ψ角後令其為E; 在此平面E上有X'-Y座標系, 其中Y軸即原來的Y軸, 而X'軸為原來X軸轉ψ角之結果(但單位長度1維持不變)。

1. 從X-Y平面上的(x,y,0)點, 垂直向上或向下(即平行於Z軸)移動,遇到E於一點, 請寫出此點在平面E上的X'-Y座標

2. 利用前項結論說明: 若有半徑為b而以Z軸為軸的圓柱面 x^2 + y^2 =b^2 (Z座標任意), 則它被平面E所截的截痕, 在E上為一?圓, 而其長短軸半長分別為 b 和 b secψ 。[ 此處所謂橢圓是採取「將正圓往某方向放大若干倍」的定義]

三、承接前題的假設和符號: 在圓柱面 x^2 + y^2 =b^2內, 從上方和從下方分別放入半徑為b的球, 直至與平面E分別相切於兩個切點, 則運用「球外一點至球的切線都等長」這一明顯事實, 我們可以看出截痕上任一點, 至兩切點的距離和為常數, 此常數恰為兩球與柱面的「切痕 (水平的圓)」之間的距離。請直接利用這3D的圖, 說明該常數恰為 2 b secψ
    [不用說, b secψ 應該被寫為 a]

四、如果記得?圓的五個參數a,b,c,d,e (分別為由?圓中心至長軸頂點、短軸頂點、焦點、準線的距離, 以及離心率) 之間的關係, 可以用ψ角來表示離心率e嗎? [此題為選擇性題, 如果沒時間就不要做]



作業11

一、給定一個??, 要找出它的焦點:

     1. 先量一下長軸和短軸的長度, 然後呢? (做某種計算)
     2. 把該?圓剪下來, 放在正午的陽光下, 然後呢?(做某種操作, 但不做計算)
     3. 試說明前項「2.」在3D中操作所找出的焦點, 會和「1.」在2D中所做計算一致

二、在這個單元中, 我們利用將??看成是3D中「柱之截痕」, 証明了平面上的兩個定義 (「將正圓往一個方向變形」和「到兩焦點距離和為定值」) 是等價的, 試就此做一些評論 




作業12

一、設有一個圓柱面, 和一個平面E相交, 交出截痕, 把這截痕叫做 ?;  我們已經知道 ? 正是一個橢圓:

     1. 試說明 ? 滿足「PF/PL = e」這個條件, 其中P是?上的動點, F是某定點 (稱做焦點), L是某定直線 (稱做準線), e是某定值 (稱做離心率) 

     2. 由前項說明可看出, e = sin α, 其中α是截面E和水平面的交角 (假設圓柱垂直於水平); 試由此証明 e = c/a, 其中c 是橢圓中心到焦點距離, a 是橢圓長軸半長

     3. 如果我們把「長短軸依比例放大 (例如a,b都放大2倍)」的結果, 當做「形狀不變」; 試說明: 決定橢圓形狀的, 就只有一個參數, 這個參數就是α, 也可以說是e, 當然也可以說是b/a

二、試說明一個圓錐被一平面截過之截痕, 也是一個橢圓; 在此, 對橢圓請採用「動點至兩定點距離和為常數」的定義 

作業13
本學最後的作業是, 請大家想一個問題, 以便在下次課堂上提出討論