$a:=\frac{1}{2}$ 是一個有理數, 且 $\int_0^\infty x =\infty$ .
我們已知
\[
\begin{pmatrix}
p_{k+1} & p_k\\
q_{k+1} & q_k
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
p_k & p_{k-1}\\
q_k & q_{k-1}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
a_k+1 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
\notag\\
=
\begin{pmatrix}
p_k a_{k+1} + p_{k-1} & p_k\\
q_k a_{k+1} + q_{k-1} & q_k
\end{pmatrix}
\]
這代表著
\begin{align}
p_{k+1} &= p_k a_{k+1} + p_{k-1}\notag\\
q_{k+1} &= q_k a_{k+1} + q_{k-1}\notag
\end{align}
下一步, 我們可以寫出
\begin{align}
p_{k+1} q_k - q_{k+1} p_k &= - (p_k q_{k-1} - q_k p_{k-1})\notag\\
p_{k+1} q_{k-1} - q_{k+1} p_{k-1} &= a_{k+1} (p_k q_{k-1} - q_k p_{k-1})\notag
\end{align}
因此, 對一般的自然數皆有此性質
\begin{align}
&p_n q_{n-1} - q_n p_{n-1} = (-1)^{n+1}\notag\\
&p_{n+2} q_n - q_{n+2} p_n = a_{n+2} (p_{n+1} q_n - q_{n+1} p_n) = a_{n+2} (-1)^n\notag
\end{align}
線上用Tex製作方程式gif圖檔的網站. 或直接打語法: <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?[這裡直接接Latex語法]"> ( <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?"> ), 例如: 要打
$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot n}=\frac{\pi ^2}{6}$
其中語法方程式語法為:
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot n}=\frac{\pi ^2}{6}
則輸入
<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot n}=\frac{\pi ^2}{6}">
return 0;