The Math Course
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模型(數學類)
@@ 思想小徑, 創造之村, 蛻變之橋, 理論之塔
<<思想小徑>>
(1) 世界
(2) 計數(數與量)
(3) [100,1000,10000,...]---進位制
(4) 多寡(>,<)
(5) 放入, 取走(+,-)
(6) 連續運算(+,-)
(7) 重複, 分割(*,÷)
(8) 四則運算(+,-,*,/)
(9) 幾何圖形(點, 線, 三角形, 長方形, 多邊形, 圓)
(10) 無度量幾何(點線, 線線, 線線線, 線段及其長短, 折線, 角及其大小, 等分點, 角等分線)
(11) 測量(長度, 面積, 體積, 角度)
(12) 餘數(奇偶, 二進位)
(13) 因數, 倍數
(14) FTOA: 108=2^2*3^3, 指數.
(15) 小數, 分數
(16) 負數及其運算
(17) 有理數四則運算
(18) 代數與函數(表達式函數)
(19) 反問題: 一元一次方程式
(20) 一次方程式
(21) 度量幾何(長方形, 平形四邊形, 三角形, 圓面積求法)
(22) 三角形(邊角關係, 全等, 勾股定理)
(23) 平行
(24) 四邊形(面積與角, 邊與面積, 多邊形與三角,四邊形)
(25) 根式及其運算
(26) 反證法, 無理數, 代數延展, 實數.
(27) 無窮小數, 連分數, 單位分數
(28) 二次式與多項式
(29) 因式分解
(30) 一元二次方程式
(31) 低次不等式
(32) 直角座標(解析幾何, 點, 線, 平行垂直, 交點, 合併圖形)
(33) 線型不等式
(34) 線型函數
(35) 二次函數
(36) 三次函數
(37) 比例
(38) 實驗機率
(39) 相似形(邊與面積, 角與面積)
(40) 圓
(41) 五心
(42) 逼近與估計
(43) 數列(等差,等比,階差數列,費氏數列,遞迴數列)
(44) 證明方法
(45) 極限(數列極限)(曲線下的面積)
(46) 指數函數
(47) 對數函數
(48) 三角函數及其定理
(49) 和角公式, 倍角公式
(50) 積和差互換
(51) 幾何基礎
(52) 非歐幾何
(53) 集合與函數(指定函數, 藉由對(-1)^(-1/2)=(-1)^(-2/4)的疑慮而引導, 可為多元函數)
(54) 排列組合
(55) 古典機率統計
(56) 因式, 倍式(因式分解/R, or /C)
(57) 分式, 根式
(58) 一元三次方程式, 一元四次方程式.
(59) 複數(複數, 極式, 複座標, 複極限, 代數數)
(60) 平面向量(有向線段, 方向, 向量)
(61) 座標向量
(62) 空間幾何(點, 線, 面)
(63) 立體圖形(柱, 台, 錐, 正20面體)
(64) 立體解析幾何(含向量)
(65) 切與截 (截立方體, 截直圓錐, 切球)
(66) 四, 五維幾何, R^n幾何(此章與低階矩陣皆為了深入探討[跨入創造之村]而準備)
(67) 方程組與克拉瑪公式
(68) 基礎矩陣
(69) 二次方程---圓
(70) 二次方程---球
(71) 古典圓錐曲線
(72) 座標二次曲線
(73) 平移旋轉
(74) 標準化圖形
(75) 二元二次方程式
(76) 平面座標變換
(77) 空間二次曲面
(78) 空間座標變換
(79) 解三元二次方程式
<<創造之村>>
(80) 矩陣列運算(基本矩陣, 可逆矩陣)
(81) determent, adj, 克拉瑪公式
(82) 特徵值理論
(83) 函數極限
(84) 切線與速度---導數
(85) 初等函數的導數
(86) 極值
(87) 三次函數
(88) 特殊函數探討(ex: 2x/(1+x))
(89) 牛頓法,勘根法
(90) 曲線下的面積.
(91) 積分的技術.
(92) 泰勒展開式
(93) 連續
(94) 導函數(鏈鎖律, 高階導數, 均值定理)
(95) 羅必達法則(sloppy的證明)
(96) 泰勒展開式
(97) 積分(積分, 面積, 旋轉體)
(98) 偏導數
(99) 重積分(體積,質心)
(100) 線積分(功,能)
<<蛻變之橋>>
(101) 爭辯: 圖形的可靠性
(102) 爭辯: 上下和的極限真表面積嗎?
(103) 爭辯: 無窮小的作用
(104) Cauchy極限(�閉_西數列極限, B.W.極限)
(105) 用cauchy limit推EVT, 此時需要完備性公設(參照S.H.E微積分)
(106) 爭辯: 證明完備性公設的必要性.
(107) 爭辯: 無窮小數的可靠性.
(108) 爭辯: 對極限與級數和互換的質疑.
(109) 爭辯: “Fubini性質” 的真實性.
(110) Bolzano極限及其性質
(111) Weierstrass極限及其性質.
(112) Riemann積分及其性質.
(113) 爭辯: 微分與級數和的交換性.
(114) 爭辯: 冪級數的收斂範圍.
(115) 爭辯: 函數的 “可解析性”
(116) 爭辯: 曲線長是否為 “底線” 長??
(117) 線性方程的解
(118) 遞迴數列的解
(119) 微分方程的解
(120) 向量空間
(121) 線性變換
(122) 同構空間
(123) 內積空間
(124) 富氏級數
(125) 集合理論
(126) 等價關係與函數(數對型函數)
(127) 函數的基本性質(參考ST的書)
(128) 勢(參考ST的書)
(129) 爭辯: 實數的可靠性.
(130) 斷口及其性質
(131) 實數系統
(132) 爭辯: 由a造-a的思想依據
(133) 爭辯: 有理數的可靠性
(134) 爭辯: 自然數的立基方式
(135) Peano公設
(136) 自然數的運算
(137) 自然數的序
(138) 分數
(139) 分數的運算
(140) 分數的序
(141) 有理數及其運算與序
(142) 有理數的乘法可逆性.
(143) 爭辯: \sin \theta與\theta 不會保持微小差異? 但為什麼曲線長就會?? \lim_{\theta=0} \frac{\sin \theta}{\theta}看起來是1, 但真的是1嗎??
(144) 爭辯: IVT, EVT, MVT真的那麼明顯嗎??
(145) 爭辯: 用微分求極值點的可靠性.
(146) 爭辯: 極限運算的真實性.
(147) 爭辯: 換變數(分部積分弄到)換到炸掉(ex:\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} dx)
(148) \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} dx = x\sqrt{1-x^2} |_{-1}^1 + 2\int_{-1}^1 \frac{x x}{\sqrt{1-x^2}}dx = ....
(149) 爭辯: 在求log_a x的導數時, 會涉及連續性的問題. 它是有問題的.
(150) 爭辯: 在D:=D(0;1)上定義 f(x) = 1/(x^2 + y^2)型的函數(在某點爆掉), 則仍滿足\iint_\Omega f d\Omega = \int_{\partial \Omega} .... ds 嗎???
(151) 爭辯: Ｎ的交換及結合性(用項武義的說法再以懷疑主義反駁)
(152) 爭辯: 由Direct Sum 所引出的定義問題 \to 直接拿到lim an = a檢驗與挑戰(若an \to \infty)
(154) 爭辯: P(x) \to [q(x) if and only if_{Df} r(x)] 型式的問題. (用極限(經濟系14級那本)的問題)
(155) 爭辯: 方程式解法的缺陷(指增根)
(156) 爭辯: 將幾何納入解析幾何的理由.
(157) 爭辯: 遞迴定義的可行性.
(158) 爭辯: 集合的操作
(159) 爭辯: 等號的運作原則.
(160) 爭辯: Subset axiom是 “一條” 公設嗎??
(161) 爭辯: 如何寫定義??
(162) 語言邏輯
<<理論之塔>>
(163) 語言及內隱邏輯
(164) 集合論
(165) 數系