| (約略)依時間倒序呈現. |
□ 這是推論18規則, txt檔與png檔- 細節有空再補.
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推論18式 (txt)
推論18式 (png)
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□ 從集合是否 "一樣多", 談到無限大的本質, 這是我在Facebook的社團裡回應的發文. 我想留住的是解釋那些定義的一些用詞, 說法, 和過程. 畢竟, 只有在當著面(或類似的情境) 回應那些提問時, 才能真正統整(激盪)出最完好的詞句. 我把所有人的名字換為代號, 作為保密用而貼上來. 如有侵權請告知.
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Ｎ和Ｚ一樣多 (pdf)
Ｎ和Ｚ一樣多 (docx)
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□ (1) 為什麼 A的後繼元一定要定成 A∪{A}?? 當然是不一定的. 我偏喜歡把它定成 {A} !!
(2)Axiom of Replacement 和 {A, PA, PPA, PPPA, ...} 這條數列有什麼關係(P表power set)? 推導關係. 以 "數學" 的觀點很難察覺它的不顯然, 只有硬是挑它的推導關係才知道它其實沒有 "靠山" (不能從subset axiom, 或稱axiom of scheme得出).
(3) 不論以何者定義後繼元, 代表二者的Infinity Axiom其實是等價的. (透過自然數理論以及Axiom of Replacement)
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Axiom of Replacement (pdf)
Axiom of Replacement (tex)
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□ 把 ZFC 的公設列出來比較好查, 但不是以 "白話文" 的方式描述.
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ZFC_Axioms
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□ 假若 M是個可交換且具備消去律的Monoid -試想它是自然數集. 則我們有一個辦法可以把它 "負化". 如果把它放在Monoid的角度觀察, 則會有相似的結果. 其實我只是在試探仿照Ｎ→Ｚ的做法, 需要在Monoid加上什麼條件才能到達group的層級....
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負化htm
負化pdf
負化txt
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□ 只是有點納悶, 為什麼定義向量空間的時候對一個體, 而定義內積空間卻只對實數體或複數體? 於是我隨性地做一些探討, 如果犧牲掉對norm的定義, 同樣的理論能夠走多遠?? 事實是, 時間未必充裕, 這種事情必須分段進行, 況且.....
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□ 一個問題就像一座庭園，從不同的方向走進去可以看見不同的景物。費氏數列也許是一座很美的庭園。它是數百年前留下來的有名數列，不僅因為它真真實實與大自然結合，它更有數不盡的數學生質，與美感.... ..
這是一篇一題多解的小集錦（我自己這樣定位它）。之所以這樣處理它，是因為中學數學教材並沒有提到這個優雅的一般項從何而來，反而僅僅要求學生以第二數學歸納法證明它的正確性。於此，我有一點點感傷。不知道有多少人，被這把利刃傷到又錯失了一座美麗的庭園.....
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費氏數列_pdf
費氏數列_tex
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□ 我總是好奇, 一個人的思想如何從直觀跨進嚴謹? 也許不會像歷指的洪流那般, 但總是有一個合理的歷程. 大學微積分, 第一個定義就按指了從此以後的數學盡是人工(artificial)的。這不是事實, 因為數學真的是最自然的產物之一.....
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從直觀到嚴謹_pdf
從直觀到嚴謹_Latex
從直觀到嚴謹_attached
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□ 這是一份可以快速導覽集合論內容的註解. 簡單地說, 我在其中寫下了大部份集合論課本都具備的內容. 用數語言來說, 它就是所有集合論課本內容的交集.
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A Quite Note On Set Theory
2013.02.19
2013.01.10
2013.01.09
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| 我又拖太久沒更新了..........ＱＱ |
□ 這是當時的課程簡介：
一元一次方程式的求解過程，是一件彈指之間即能完成的蒜皮小事；一元二次方程式的公式解，想必大家也都能倒背如流；對於三次、四次方程，學校課本提供了一次因式檢驗法，讓我們能順利找出它們的有理根，讓方程式解起來方便些！但是新的問題卻來得又快又急：要是沒能找到有理根，那該怎麼辦？這個問題，不只一兩次被提到，實際上它跨越了各個國度，各種年代，考倒無數的數學家，卻始終穩如泰山，毫無動搖！不過，人們終究還是將它征服了！在這段漫長的探索的歷程中，既可喜可賀，也穿插了一些令人深思的故事......關於這一切的一切，請聽我娓娓道來......
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三次方程
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□ 這大概是期末考壓力太大的產物. 有時候在這種 "非常時期" 需要做一些不太正常的事來抒發一下, 例如: 證明九九加法表, 和九九乘法表.
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Addition Lemma
Multiple Lemma
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□ 或許真正的邏輯應該視為一種推斷的準則; 就像造句的規則稱作文法那樣...... |
邏輯_doc
邏輯_pdf
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□ 微分方程, 一個突然出現的蹊徑. 它的來源可能只是個小問題, 卻可以開發成龐大的體系, 甚至給相臨的世界必要的支援. 有時候也太巧妙, 但數學不正是如此嗎?? |
簡單的微方_tex
簡單的微方_pdf
簡單微方(導引)_tex
簡單微方(導引)_pdf
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□ 在一度空間是條線段; 在二度空間稱作圓, 在三度空間謂之球體, 在N 度空間即使看不見, 但依然可以描述. 它們是N 維 "球體", 它們也有 "體積". 如果沒有此細考究, 將難以體會箇中滋味.... |
N維球_tex
N維球_pdf
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□ 這可以視為高中數學裡 "海龍公式" 的推廣: 給定四邊形的 四邊 及 一組對角之和, 可以求得它的面積.
註: Bretschneider為德文, 其中tsch發音同英語的ch, ei發音同like的i, 重音在ei. |
Bretschneider公式
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□ 在高中的基礎數學裡, 我們學過兩個變數的算幾不等式以及柯西不等式, 然而, 我們可以藉由可行的辦法推廣既知的不等式 ------ 讓變數多一些, 以符合更多的需求. 這篇是對柯西不等式進一步的推廣, 其中, 也顯現了柯西不等式與算幾不等式之間的關係. |
一般化的柯西不等式
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□ 這是一道關於 "Automata" 和 "Regular Language" 理論的小問題, 來自於修習的資工系課程段考. 如果使用 Pumping Lemma, 需要造一個不直觀的自然數j. 不確定我的證法是否是正歸的證明, 只是因為自己作答的論述而感到有趣....... |
"正規語言" 問題_txt檔
"正規語言" 問題_pdf檔
"正規語言" 問題_htm檔
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□ 這是一道關於集合的 "勢" 的問題（某校研究所入學考）。"勢" 所表達的概念即是一個集合裡面有 "多少" 東西，當一個集合為有限集時，它的 "勢" 就是它們元素個數，然而當集合的元素個數非有限時，將是一件很有趣的事，也是數學充滿驚奇的地方。 |
"勢" 的問題_Latex碼
"勢" 的問題_pdf檔
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□ 無限大是一種令人既癡迷又惱火的想法. 我們總是能利用它得到一些令人震驚的成果, 不論在數學上或物理上, 乃至其他領域. 然而相對地, 由於無意的疏忽, 我們卻時常掉進由無限本身所設下的陷阱. 人的思維總是這麼巧妙, 卻妙得有點... 空泛..... 這是一篇關於無窮的悖論, 以及它的應對方式. |
零等於無限大??
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□ 實指數也許是個直觀的概念，縱使像2^(sqrt(3))這類型的指數，直觀依然告訴我們：趨近即是它的解答。但複指數呢？它是個好玩的東西，卻不那麼好玩。畢竟在推廣的過程中總會有些挫折。在發現新奇事物的背後，或許我們得犧牲些什麼..... |
Complex Exponentiation
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□ 指數及其運算是一種非常自然的運作方式。然而，我們時常因為一些小細節的誤用而導致災難性的結果。本文將一次統整指數的各種性質及其定義，從中的各項證明將略去，僅留有它的思想過程。 |
指數_Latex碼
指數_pdf檔
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□ 雙曲函數的來由具有微微的神祕色彩, 在數學上可對比三角函數由圓 x2 + y2 = 1 上的點座標定義, 雙曲函數以等軸雙曲線 x2 - y2 = 1 為構想而建立. 在物理上, 則可藉由懸鏈線的受力分析而得出雙曲函數的影子. |
sinh(x) |
□ 這是微積分上一個違反直覺的例子------連續函數的級數和不連續, 由Abel給出. 藉由這個例子, 我們可以適當地引進Uniform Convergence這項概念.
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Abel's Example_pdf
Abel's Example_LaTex碼
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□ "1+1=2" 究竟代表什麼？為什麼會曾有此一說－－－數學家花費大筆力氣證明這個再明顯不過的等式。這究竟是怎麼回事？也許我們不該直觀地想它，畢竟在數學的發展過程碰過太多太多的陷阱......
為什麼要證明1+1=2_Latex碼
為什麼要證明1+1=2_pdf檔
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